Question

設函數f(x)=log_a(x-3a)(a＞0，且a≠1)，當點P（x,y）是函數y=f(x)圖象上的點時，點Q（x-2a,-y） 是函數y=g(x)的圖象上的點.

（1）求出函數y=g(x)的解析式；

（2）若當x∈［a+2,a+3］時，求v(x)=f(x)-g(x)的最值.

Answer 1

解析：（1）設點Q的坐標為(x′,y′)，

    則x′=x-2a,y′=-y，

    即x=x′+2a,y=-y′.

    ∵點P（x,y）在函數y=f(x)的圖象上，

    ∴-y′=log_a(x′+2a-3a)，得

    y′=,

    即函數y=g(x)的解析式為

    g(x)=.

    （2）f(x)=log_a(x-3a),

    g(x)=,

    兩函數在［a+2,a+3］上有意義，則

    故0＜a＜1.

    v(x)=f(x)-g(x)=log_a(x-3a)+log_a(x-a)=log_a(x²-4ax+3a²),

    設u(x)=x²-4ax+3a²,

    ∵0＜a＜1,∴2a＜a+2,

    ∴u(x)在區間［a+2,a+3］上為增函數，

    ∴v(x)=log_a(x²-4ax+3a²)在區間［a+2,a+3］上為減函數，

    ∴v(x)的最大值為v(a+2)=log_a(4-4a)，最小值為v(a+3)=log_a(9-6a).