Question

已知定義在R上的函數y=f（x）和y=g（x），則“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數”是“y=f（x）+g（x）是奇函數”的（　　）條件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

Answer 1

分析：當“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數”，由奇函數的定義可證“y=f（x）+g（x）是奇函數”；但由“y=f（x）+g（x）是奇函數”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數”，可通過反例來說明．

解答：解：因為“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數”，所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
所以f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-[f（x）+g（x）]，即“y=f（x）+g（x）是奇函數”，
故由“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數”可推得“y=f（x）+g（x）是奇函數”；
但由“y=f（x）+g（x）是奇函數”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數”，
如，f（x）=x-x²，g（x）=x+x²，顯然有f（x）+g（x）=2x為奇函數，但f（x）、g（x）均不是奇函數．
故“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數”是“y=f（x）+g（x）是奇函數”的充分不必要條件．
故選A

點評：本題為充要條件的判斷，熟練掌握函數的奇偶性是解決問題的關鍵，屬基礎題．