Question

15、等差數列{a_n}中，公差為d，前n項的和為S_n，有如下性質：
（1）通項a_n=a_m+（n-m）d；
（2）若m+n=p+q，m、n、p、q∈N^*，則a_m+a_n=a_p+a_q；
（3）若m+n=2p，則a_m+a_n=2a_p；
（4）S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n構成等差數列．
請類比出等比數列的有關性質．

Answer 1

分析：等比數列通常與等差數列類比，加法類比為乘法，算術平均數類比為幾何平均數，本題是一個加法類比為乘法，算術平均數類比為幾何平均數．

解答：解：等比數列{a_n}中，公比為q，前n項和為S_n，則可以推出以下性質：
（1）a_n=a_mq^n-m；
（2）若m+n=p+q，m、n、p、q∈N^*，則a_m•a_n=a_p•a_q；
（3）若m+n=2p，則a_m•a_n=a_p²；
（4）當q≠-1時，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n構成等比數列．

點評：在解題過程中，尋找解題的突破口，往往離不開類比聯想，我們在解題中，要進一步通過概念類比、性質類比、結構類比以及方法類比等思維訓練途徑，來提高類比推理的能力，培養探究創新精神．