Question

已知y=log₄(2x+3-x²).

(1)求定義域;

(2)求f(x)的單調區間;

(3)求y的最大值,并求取最大值時x的值.

Answer 1

x=1,u取最大值4時,y取最大值1.

解析:

(1)由2x+3-x²>0,解得-1<x<3.

∴f(x)的定義域為{x|-1<x<3}.

(2)令u=2x+3-x²,則u>0,y=log₄u.

由于u=2x+3-x²=-(x-1)²+4,

考慮定義域,可知其增區間是(-1,1］,減區間是［1,3).

又y=log₄u在(0,+∞)上為增函數,故該函數單調遞增區間為(-1,1］,減區間為［１,３).

(3)∵u=2x+3-x²=-(x-1)²+4≤4,

∴y=log₄u≤log₄4=1.

故當x=1,u取最大值4時,y取最大值1.