Question

10、已知y=log₄（2x+3-x²）．
（1）求定義域；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）求y的最大值，并求取得最大值的x值．

Answer 1

分析：（1）由真數2x+3-x²＞0求解即可．
（2）用復合函數單調性求解，先令u=2x+3-x²，且u＞0，轉化為兩個基本函數：y=log₄u在定義域上是增函數，再用二次函數法研究u的單調區間，要考慮到定義域，然后用“同增異減”得到結果．
（3）先求得u的范圍，再利用對數函數的單調性求得原函數的最值．

解答：解：（1）由真數2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3．
∴定義域是{x|-1＜x＜3}．
（2）令u=2x+3-x²，則u＞0，y=log₄u．
由于u=2x+3-x²=-（x-1）²+4，
其增區間是（-1，1]，減區間是[1，3）．
又y=log₄u在u∈（0，+∞）上是增函數，
故該函數的增區間是（-1，1]，減區間是[1，3）．
（3）∵u=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，
∴y=log₄（2x+3-x²）≤log₄4=1．
∴當x=1，u取得最大值4時，y就取得最大值1

點評：本題主要考查由對數函數和二次函數構造的復合函數的單調性和最值，研究單調性時：依據是復合函數的單調性：同增異減，要注意定義域，研究值域時：用到了整體思想將復合函數轉化為基本函數解決．