Question

【題目】已知函數f（x）=x2+bx+1滿足f（1+x）=f（1﹣x）， ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷g（x）在[1，2]上的單調性并用定義證明你的結論；
（3）求g（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x2+bx+1滿足f（1+x）=f（1﹣x），

可知函數的對稱軸為：x=1，所以 ，b=﹣2，

函數f（x）的解析式：f（x）=x2﹣2x+1

（2）解： =x+ ﹣2，g（x）在[1，2]上的單調性是增函數，

證明：設1≤x1＜x2≤2，x1﹣x2＜0， ＞0，

g（x1）﹣g（x2）=x1﹣x2+ =（x1﹣x2）（ ）＜0，

g（x1）＜g（x2），

所以函數g（x）在[1，2]上是增函數

（3）解：由（2）可知，函數是增函數，函數的最小值為：g（1）=0，

函數的最大值為：g（2）=

【解析】（1）利用二次函數的對稱性求出b，然后求解函數的解析式．（2）判斷函數的單調性，利用單調性的定義證明即可．（3）利用函數的單調性，直接求解函數的最值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．