Question

已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產千件需另投入2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）滿足：（1）當0＜x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系，x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元．（2）當x＞10時銷售收入與生產服裝的關系式為．
（1）寫出年利潤W（萬元）關于年出品x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該公式在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大？

Answer 1

解：（1）∵當0＜x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系
∴可設R（x）=kx²+b
∵x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元
∴
∴b=10.8，
∴當0＜x≤10時，銷售收入與生產服裝的關系式為
∴0＜x≤10時，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；
當x＞10時，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．
∴W=
（2）①當0＜x＜10時，由W'=8.1﹣=0，得x=9，
且當x∈（0，9）時，W'＞0；
當x∈（9，10）時，W'＜0，
∴當x=9時，W取最大值，且
②當x＞10時，
當且僅當，即x=時，W=38，
故當x=時，W取最大值38．
綜合①②知當x=9時，W取最大值38.6萬元，
故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大．