Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為，離心率為，過右焦點的直線與橢圓交于不同兩點，.線段的垂直平分線交軸于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由題意可知：2b＝2，，則a＝2c，代入a2＝b2+c2，求得a，即可求得橢圓C的標準方程；

（2）分類討論，設直線MN的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），代入橢圓方程，求出線段MN的垂直平分線方程，令x＝0，得，利用基本不等式，即可求的取值范圍，再考慮斜率不存在的情況，取并集得到的取值范圍．

（1）由題意可得：，，又，

聯立解得，，.

∴橢圓的方程為.

（2）當斜率存在時，設直線的方程為，，，中點，

把代入橢圓方程，得到方程，

則，，，，

所以的中垂線的方程為，令，得，

當時，，則；

當時，，則，

當斜率不存在時，顯然，

當時，的中垂線為軸.

綜上，的取值范圍是.