Question

已知正方形ABCD的中心在原點，四個頂點都在函數f（x）=ax³+bx（a＞0）圖象上．
（1）若正方形的一個頂點為（2，1），求a，b的值，并求出此時函數的單調增區間；
（2）若正方形ABCD唯一確定，試求出b的值．

Answer 1

分析：（1）先依據待定系數法求a，b的值，得函數的解析式，再求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間．
（2）設正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx，則其斜率唯一確定，轉化為二元方程只有唯一實數根，利用根的判別式求解即可．

解答：解：（1）因為一個頂點為（2，1），
所以必有另三個頂點（-2，-1），（1，-2），（-1，2），
將（2，1），（1，-2）代入y=ax³+bx，得a=

5

6

，b=-

17

6

．（4分）
所以f(x)=

5

6

x3-

17

6

x．
因為f′(x)=

1

6

(15x2-17)，令f′（x）＞0，得x＞

17 15

或x＜-

17 15

，
所以函數f（x）單調增區間為(- ∞，  -

17 15

)和(

17 15

，  +∞)．（6分）
（2）設正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx（k≠0），
則對角線BD所在的直線方程為y=-

1

k

x．
由

y=kx y=ax3+bx

解得x2=

k-b

a

，
所以AO2=x2+y2=(1+k2)x2=(1+k2)•

k-b

a

，
同理，BO2=[1+(-

1

k

)2]•

- 1 k -b

a

=-

1+k2

k2

•

1 k +b

a

，
又因為AO²=BO²，所以k3-k2b+

1

k

+b=0．（10分）
即k2+

1

k2

-b(k-

1

k

)=0，即(k-

1

k

)2-b(k-

1

k

)+2=0．
令k-

1

k

=t得t²-bt+2=0
因為正方形ABCD唯一確定，則對角線AC與BD唯一確定，于是k-

1

k

值唯一確定，
所以關于t的方程t²-bt+2=0有且只有一個實數根，又k-

1

k

=t∈R．
所以△=b²-8=0，即b=±2

2

．（14分）
因為x2=

k-b

a

＞0，a＞0，所以b＜k；又

- 1 k -b

a

＞0，所以b＜-

1

k

，故b＜0．
因此b=-2

2

；
反過來b=-2

2

時，t=-

2

，k-

1

k

=-

2

，
于是k=

- 2 + 6

2

，-

1

k

=

- 2 - 6

2

；或k=

- 2 - 6

2

，-

1

k

=

- 2 + 6

2

于是正方形ABCD唯一確定．（16分）

點評：本小題主要考查函數的解析式的求法以及導數，單調性，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．