Question

若四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD（如圖），且PA=2

3

．
（1）求異面直線PD與BC所成角的大小；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）要求兩條異面直線所成的角，需要通過直線的平移，把兩條異面直線放到有公共點的位置，本題通過正方形對邊平行，得到異面直線所成的角，在直角三角形中解出結果．
（2）要求四棱錐的體積，這種問題比較簡單，比求三棱錐的體積要簡單，只要看出四棱錐的高線，求出底面，本題的底面是一個正方形，高線條件中給出，利用公式得到結果．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PDA的大小即為異面直線PD與BC所成角的大小．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，由PA=2

3

，AD=2，
∴tan∠PDA=

3

，
∴∠PAD=60°，
故異面直線PD與BC所成角的大小為60°．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA是四棱錐的高，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD•PA=

1

3

×22×2

3

=

8 3

3

．
答：（1）異面直線PD與BC所成角的大小為60°，
（2）四棱錐的體積是

8 3

3

點評：本題考查異面直線所成的角，本題可以作為一道解答題目出現，考查的知識點比較簡單，若出現一定是一個送分題目．