Question

設數列1，2，4，…前n項和是S_n=a+bn+cn²+dn³，求這數列的通項a_n的公式，并確定a，b，c，d的值．

Answer 1

分析：先令n=1、2、3可得到a+b+c+d=1、a+2b+4c+8d=3、a+3b+9c+27d=7，然后對這三個式子進行整理可得到b=11d-1、a=1-6d，再由當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2（n-1）+（n²-5n+6）d，然后當n=1時得到a₁=2•（1-1）+3•（1²-5•1+6）d=16d=1可得到d=

1

6

，進而可得到a，b，c的值，從而確定通項a_n的公式．

解答：解：依題意得
S₁=1，即a+b+c+d=1①
S₂=3，即a+2b+4c+8d=3②
S₃=7，即a+3b+9c+27d=7③
上面三式雖然成不定方程組，
但可如下解：
②-①得b+3c+7d=2④
③-②得b+5c+19d=4⑤
⑤-④得2c+12d=2，c=1-6d．⑥
將⑥代入④得b+3（1-6d）+7d=2，
b=11d-1⑦
將⑥⑦代入①，得a+（11d-1）+（1-6d）+d=，a=1-6d⑧
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1
=（a+bn+cn²+dn³）-[a+b（n-1）+c（n-1）²+d（n-1）³]
=b+（2n-1）c+（3n²-3n+1）d
=（11d-1）+（1-6d）（2n-1）+（3n²-3n+1）d
=2（n-1）+（n²-5n+6）d．
上式在n=1時成為a₁=2•（1-1）+3•（1²-5•1+6）d=16d=1
∴d=

1

6

.
將d=

1

6

分別代入⑥、⑦、⑧中得：c=0，b=

5

6

，a=0.
∴an=2(n-1)+3(n2-5n+6)•

1

6

=

1

2

(n2-n+2)．

點評：本題主要考查已知數列的前n項和求數列的通項公式的方法．求數列的通項公式是高考的一個重要 內容，是一個必考的考點，要引起重視．