Question

已知數列{a_n}是正項等比數列，若a₁=32，a₄=4，則數列{log₂a_n}的前n項和S_n的最大值為________．

Answer 1

15
分析：根據題意結合等比數列的通項公式，可得a_n=2^6-n，再取以2為底的對數得log₂a_n=6-n，得到{log₂a_n}是以5為首項，公差為-1的等差數列，利用等差數列的求和公式并結合二次函數在正整數范圍內求最值，可得本題的答案．
解答：設等比數列的公比為q
∵等比數列中，a₁=32，a₄=4，
∴q³==，得q=，所以等比數列的a_n=32×（）^n-1=2^6-n，
由此可得log₂a_n=6-n，數列{log₂a_n}構成以5為首項，公差為-1的等差數列
∴數列{log₂a_n}的前n項和S_n=5n-=（-n²+11n）
∵n∈N^*，∴當n=5或6時，S_n的最大值為15
故答案為：15
點評：本題給出等比、等差數列模型，求一個數列前n項和的最大值，著重考查了等比數列、等差數列的通項與求和等知識，屬于中檔題．