Question

（1）已知關于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，求實數a的最小值；
（2）已知|x|＜1，|y|＜1，求證：|1-xy|＞|x-y|．

Answer 1

分析：（1）通過“湊”，利用條件x＞a 將有關項化為正值，從而滿足公式中正的條件，利用基本不等式就可求解．
（2）要證|1-xy|＞|x-y|即證|1-xy|²-|x-y|²＞0，通過化簡很快問題得證．

解答：解：（1）∵2x+

2

x-a

≥7，∴2（x-a）+

2

x-a

≥7-2a
7-2a≤4，∴a≥

3

2

，
故實數a的最小值為

3

2

（2）因為|1-xy|²-|x-y|²=（1-a²）（1-b²）＞0，
∴|1-xy|＞|x-y|得證．

點評：本題考查了函數的最值問題以及證明不等式，常用的轉化方法有分離系數法、換元法等．