Question

當x＞1時，不等式mx²+mx+1≥x恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．[3+2

  2

  ，+∞）
• B．（-∞，3+2

  2

  ]
• C．[3-2

  2

  ，+∞）
• D．（-∞，3-2

  2

  ]

Answer 1

分析：不等式mx²+mx+1≥x恒成立可轉化成m≥

x-1

x2+x

在（1，+∞）上恒成立，然后利用基本不等式求出

x-1

x2+x

的最大值即可．

解答：解：由不等式mx²+mx+1≥x得m（x²+x）≥x-1，又x²+x＞0，所以有m≥

x-1

x2+x

在（1，+∞）上恒成立，
而

x-1

x2+x

=

1

x2+x x-1

=

1

x+ 2 x-1 +2

=

1

x-1+ 2 x-1 +3

，
∵x-1+

2

x-1

+3≥3+2

2

，當且僅當x=1+

2

時等號成立，即

1

x-1+ 2 x-1 +3

≤

1

3+2 2

=3-2

2

，所以實數m的取值范圍是[3-2

2

，+∞）．
故選C．

點評：本題主要考查了恒成立問題，解決這類問題常用參變量分離，研究函數的最值可求出參數的取值范圍，解題的關鍵是利用基本不等式求最值，屬于中檔題．