Question

把邊長為2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，設(shè)折疊后BC的中點(diǎn)為P，
（I）求異面直線AC，PD所成的角的余弦值；
（II）求二面角C-AB-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB、AD、DC所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，求出向量和的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求出所成角；
（Ⅱ）要求二面角C-AB-D的大小，即分別求出兩平面的法向量，然后利用向量的夾角公式即可求出法向量的夾角，從而求出二面角的大小．
解答：解：（I）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB、AD、DC所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系．則）
∴，
∴
所以，異面直線AC與BD所成角的余弦值為
（II）面DAB的一個(gè)法向量為
設(shè)面ABC的一個(gè)法向量，
則，
取，
則∴
∴二面角C-AB-D的大小為
點(diǎn)評：本小題主要考查異面直線所成的角，以及空間向量和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．