Question

對于定義在R上的函數f（x），可以證明點A（m，n）是f（x）圖象的一個對稱點的充要條件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．
（1）求函數f（x）=x³+3x²圖象的一個對稱點；
（2）函數f（x）=ax³+（b-2）x²（a，b∈R）在R上是奇函數，求a，b滿足的條件；并討論在區間[-1，1]上是否存在常數a，使得f（x）≥-x²+4x-2恒成立？
（3）試寫出函數y=f（x）的圖象關于直線X=M對稱的充要條件（不用證明）；利用所學知識，研究函數f（x）=ax³+bx²（a，b∈R）圖象的對稱性．

Answer 1

解：（1）解：設A（m，n）為函數f（x）=x³+3x²圖象的一個對稱點，則f（m-x）+f（m+x）=2n，對于x∈R恒成立．即（m-x）³+3（m-x）²+（m+x）³+3（m+x）²=2n對于x∈R恒成立，
∴（6m+6）x²+（2m³+6m²-2n）=0由解得：
故函數f（x）圖象的一個對稱點為（-1，2）．
（2）①因為函數是奇函數，則由f（-x）=-f（x）得：-ax³+（b-2）x²=-ax³-（b-2）x²，解得a∈R，b=2；
②當a∈R，b=2時f（x）是奇函數．不存在常數a使f（x）≥-x²+4x-2x∈[-1，1]時恒成立．
依題，此時f（x）=ax³令g（x）=-x²+4x-2x∈[-1，1]∴g（x）∈[-7，1]若a=0，f（x）=0，不合題；
若a＞0，f（x）=ax³此時為單調增函數，f（x）_min=-a．
若存在a合題，則-a≥1，與a＞0矛盾．
若a＜0，f（x）=ax³此時為單調減函數，
f（x）_min=a若存在a合題，則a≥1，與a＜0矛盾．
綜上可知，符合條件的a不存在．
（3）函數的圖象關于直線x=m對稱的充要條件是f（m+x）=f（m-x）
①a=b=0時，f（x）=0（x∈R），其圖象關于x軸上任意一點成中心對稱；關于平行于y軸的任意一條直線成軸對稱圖形；
②a=0，b≠0時，f（x）=bx²（x∈R），其圖象關于y軸對稱圖形；
③a≠0，b=0時，f（x）=ax³，其圖象關于原點中心對稱；
④a≠0，b≠0時，f（x）=ax³+bx²的圖象不可能是軸對稱圖形．
設A（m，n）為函數f（x）=ax³+bx²圖象的一個對稱點，則f（m-x）+f（m+x）=2n對于x∈R恒成立．即a（m-x）³+b（m-x）²+a（m+x）³+b（m+x）²=2n對于x∈R恒成立，（3am+b）x²+（am³+bm²-n）=0
由，由解得
故函數f（x）圖象的一個對稱點為（-，）．
分析：（1）因為點A（m，n）是f（x）圖象的一個對稱點的充要條件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．可設A（m，n）為f（x）的一個對稱點則得到f（m-x）+f（m+x）=2n成立即可解出m和n；
（2）根據函數是奇函數可知f（-x）+f（x）=0得a、b的值；把ab代入的f（x）的解析式讓f（x）≥-x²+4x-2推出矛盾即可說明不存在；
（3）函數y=f（x）的圖象關于直線X=M對稱的充要條件是f（m+x）=f（m-x）；分析函數f（x）=ax³+bx²（a，b∈R）圖象的對稱性．f（m+x）+f（m-x）=2m可求出對稱點的坐標．
點評：考查學生應用函數奇偶性的能力，奇偶函數圖象的對稱性研究能力，理解函數恒成立問題的能力．