Question

已知四棱錐P-ABCD的正視圖是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，圖1、圖2分別是四棱錐P-ABCD的側視圖和俯視圖．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求四棱錐P-ABCD的側面PAB的面積．

Answer 1

（1）根據三視圖，可得側面PDC⊥平面ABCD


∵AD⊥CD，側面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD
∴AD⊥側面PDC
∵PC?側面PDC，∴AD⊥PC；
（2）取CD的中點E，連接PE、AE，
∵根據三視圖，得△PCD中，PD=PC=3，CD=4
∴PE=

32-22

=

5

Rt△ADE中，AD=DE=2，可得AE=

AD2+DE2

=2

2

∵側面PDC⊥平面ABCD，側面PDC∩平面ABCD=CD，
PE?側面PDC，PE⊥CD
∴PE⊥平面ABCD，結合AE?平面ABCD，可得AE⊥PE
因此，Rt△PAE中，PA=

AE2+PE2

=

13

．同理可得PB=

13

∴△PAB中，cos∠APB=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

5

13

由同角三角函數的關系，得sin∠APB=

1-( 5 13 )2

=

12

13

∴S_△PAB=

1

2

PA•PBsin∠APB=

1

2

×

13

×

13

×

12

13

=6
即側面PAB的面積為6．