Question

【題目】已知橢圓的左．右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形的邊長為 的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若,分別是橢圓長軸的左,右端點,動點滿足,連結,交橢圓于點．證明: 的定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,試問軸上是否存在異于點,的定點,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點,若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ) 存在,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點.

【解析】

試題（I）由于四邊形為正方形，所以，由此求得橢圓方程為.（II）設出直線的方程，聯立直線方程和橢圓方程，求出點坐標，代入可求得值為.（III）設出點的坐標，利用圓的直徑所對圓周角為直角的幾何性質得到，結合（II）將的坐標代入上式，可求得.

試題解析：(Ⅰ)由題意得,

,

所以所求的橢圓方程為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,

由題意可設,．

因為

所以

由整理得:

因為

所以，

所以

(Ⅲ)設,則．

若以為直徑的圓恒過,的交點,則,

所以恒成立

由(Ⅱ)可知,

．

所以．

即恒成立．

所以．

所以存在,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點．