Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．給出下列結(jié)論：f(

π

4

)=

1

2

；②f（x）為奇函數(shù)；③f（x）為周期函數(shù)；④f（x）在（0，x）內(nèi)單調(diào)遞減．其中正確的結(jié)論序號(hào)是（　�。�

A．②③

B．②④

C．①③

D．①④

Answer 1

令x=y=

π

4

，根據(jù)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．
∴f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

)  •

2

2

∴f(

π

4

)=

2

2

故①不對(duì)
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，則
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函數(shù)   故②對(duì)．
令x=

π

2

，由f（0）=0，f（

π

2

）=1知④不對(duì)
故選A．