Question

【題目】某單位為綠化環境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：

（1）兩種大樹各成活1株的概率；

（2）成活的株數ξ的分布列與期望．

Answer 1

【答案】（1）（2）分布列見解析，

【解析】試題分析：（1）甲兩株中活一株符合獨立重復試驗，概率為 ，同理可算乙兩株中活一株的概率，兩值相乘即可．

（2）ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，分別求其概率，列出分布列，再求期望即可．

試題解析：解：設Ak表示甲種大樹成活k株，k=0，1，2

Bl表示乙種大樹成活1株，1=0，1，2

則Ak，Bl獨立．由獨立重復試驗中事件發生的概率公式有

P（Ak）=C2k（）k（）2-k，P（Bl）=C21（）l（）2-l．

據此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．

P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．

（1）所求概率為P（A1B1）=P（A1）P（B1）=×=．

（2）解法一：ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，且

P（ξ=0）=P（A0B0）=P（A0）P（B0）=×=，

P（ξ=1）=P（A0B1）+P（A1B0）=×+×=，

P（ξ=2）=P（A0B2）+P（A1B1）+P（A2B0）=×+×+×=，

P（ξ=3）=P（A1B2）+P（A2B1）=×+×=．

P（ξ=4）=P（A2B2）=×=．

綜上知ξ有分布列

ξ	0	1	2	3	4
P

從而，ξ的期望為

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．

解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分別表示甲乙兩種樹成活的株數，則

ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）

故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1

從而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．