【題目】某學校因為寒假延期開學，根據教育部停課不停學的指示，該學校組織學生線上教學，高一年級在線上教學一個月后，為了了解線上教學的效果，在線上組織數學學科考試，隨機抽取50名學生（滿分150分，且抽取的學生成績都在
內）的成績并制成頻率分布直方圖如圖所示.
（1）根據頻率分布直方圖，估計這50名同學的數學平均成績；（同一組中的數據以該組區間的中點值作代表）
（2）用分層抽樣的方法從成績在
和
的同學中抽取6名，再在抽取的這6名同學中任選2名，求這兩名同學的數學成績在同一組中的概率.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由頻率分布直方圖的性質，求得
，再利用頻率分布直方圖的平均數的計算公式，即可求得這50名同學的數學平均成績.
（2）由直方圖得到從
，
分別抽取4人，2人，利用列舉法求得基本事件的總數，結合古典概型的概率計算公式，即可求解.
（1）由頻率分布直方圖的性質，可得
，
解得
則這50名同學的數學平均成績為：
（2）由直方圖知：，兩組的頻率分別為0.32，0.16.
按分層抽樣的方法從成績不低于125的同學中抽取6名，
則，分別抽取4人，2人，分別記為
，
，
，
，
，
隨機抽取2名的總抽法有
；15種，
其中求這兩名同學數學成績落在同一組的抽法有
；7種
故兩名同學數學成績在同一組的概率為
.
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列結論：
①若
為真命題，則
、
均為真命題;
②命題“若
，則
”的逆否命題是“若
，則
”;
③若命題
，
，則
，
；
④“
”是“
”的充分不必要條件.其中正確的結論有____.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】三角形的勃勞卡德點是以法國軍官亨利·勃勞卡德（Henri.Brocard）命名的，他在1875年曾描述過這一事實，即：對任何一個三角形都存在唯一的角
，即勃勞卡德角，使得圖中連接三個頂點的線相交于勃勞卡德點Q，如圖所示.
（1）研究發現：等腰直角三角形中
，若
是斜邊
的等腰直角三角形，求線段
的長度；
（2）若中，
，
，
，求
的值；
（3）若中，若線段，
，
的長度是1為首項，公比為q（
）的等比數列，當
時，求公比q的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校
位同學的數學與英語成績如下表所示：
學號 |
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數學成績 |
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英語成績 |
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學號 |
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數學成績 |
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英語成績 |
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將這位同學的兩科成績繪制成散點圖如下：
（1）根據該校以往的經驗，數學成績
與英語成績
線性相關.已知這名學生的數學平均成績為
，英語平均成績為
.考試結束后學校經過調查發現學號為
的
同學與學號為
的
同學（分別對應散點圖中的、）在英語考試中作弊，故將兩位同學的兩科成績取消，取消兩位作弊同學的兩科成績后，求其余同學的數學成績與英語成績的平均數；
（2）取消兩位作弊同學的兩科成績后，求數學成績與英語成績的線性回歸方程
，并據此估計本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊的英語成績（結果保留整數）.
附：位同學的兩科成績的參考數據：
，
.
參考公式：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為
，且直線
是其圖象的一條對稱軸．
（1）求
，
的值；
（2）在圖中畫出函數
在區間
上的圖象；
（3）將函數的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移
個單位，得到
的圖象，求
單調減區間.
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