Question

已知關于x的函數f（x）=2ax²+2x-3-a，g（x）=b（x-1），其中a，b為實數．
（1）當a=1時，若對任意的x∈[2，10]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求b的取值范圍；
（2）當a＞0時，若函數y=f（x）在區間[-1，1]有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題考查的是函數的最值問題與恒成立結合的綜合類問題，在解答時，應先將不等式f（x）≥g（x）恒成立轉化為求函數y=

2x2+2x-4

x-1

在區間[2，10]上的最小值，然后結合恒成立問題的特點即可獲得問題的解答．
（2）由函數y=f（x）在區間[-1，1]有零點，得函數f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象在[-1，1]區間上與x軸有交點，作出函數f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象，利用其圖象必過兩定點．結合圖象，得只須f（1）≥0即可，從而得出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知：當a=1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立對任意x∈[2，10]恒成立，
即2x²+2x-4≥b（x-1）對任意x∈[2，10]恒成立，
也即：b≤

2x2+2x-4

x-1

，設x-1=t，則b≤2t+

6

t

，t∈[1，9]
只需要求函數y=2t+

6

t

在區間[1，9]上的最小值，
∵y=2t+

6

t

≥2

12

，當且僅當t=

3

時取等號
∴y_min=4

3

，
∴b的取值范圍是：b≤4

3

．
（2）由函數y=f（x）在區間[-1，1]有零點，
得函數f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象在[-1，1]區間上與x軸有交點，
作出函數f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象，
其必過A（-

2

2

，-

2

-3），B（

2

2

，

2

-3）兩點．如圖，
結合圖象，得只須f（1）≥0即可，
即2a×1²+2-3-a≥0⇒a≥1．
∴a的取值范圍[1，+∞）．

點評：本題考查的是函數的最值問題與恒成立結合的綜合類問題，在解答的過程當中充分體現了恒成立的思想、二次函數求最值的方法和問題轉化的能力．值得同學們體會和反思．