Question

已知關于x的函數f（x）=（-2a+3b-5）x+8a-5b-1．如果x∈[-1，1]時，其圖象恒在x軸的上方，則

b

a

的取值范圍是

(-∞，

3

2

)∪(3，+∞)

．

Answer 1

分析：由題意可得f（1）＞0且f（-1）＞0，解得3a-b-3＞0且5a-4b+2＞0，接下來用線性規劃解決問題，畫出可行域，根據 

b

a

表示可行域內的點（a，b）和原點O連線的斜率，求出

b

a

的取值范圍．

解答：解：要使圖象全在x軸上方，即函數f（x）在-1≤x≤1時函數值恒大于0，
只需保證f（1）＞0且f（-1）＞0，即線段兩端點的函數值都大于0，就可使整個線段上點的函數值大于0．
所以（-2a+3b-5）+8a-5b-1=6a-2b-6＞0，即3a-b-3＞0；
-（-2a+3b-5）+8a-5b-1=10a-8b+4＞0，即5a-4b+2＞0．
接下來用線性規劃解決問題，如圖，畫出可行域：直線3a-b-3=0和直線5a-4b+2=0形成的角型區域BAC．
 

b

a

表示可行域內的點（a，b）和原點O連線的斜率．
由于A（2，3），OA的斜率為

3

2

，故

b

a

的取值范圍是 (-∞，

3

2

)∪(3，+∞)．

點評：本題主要考查簡單的線性規劃問題，體現了數形結合及等價轉化的數學思想，屬于基礎題．