Question

已知△ABC的外接圓的圓心為O，滿足

CO

=m

CA

+n

CB

，4m+3n=2且|CB|=6，|CA|=4

3

，則

CA

•

CB

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：在

CO

=m

CA

+n

CB

兩邊分別乘以

CA

，

CB

便能夠得到

24=48m+n CA • CB ① 18=36n+m CA • CB ②

，根據4m+3n=2，①+②便可得到18=(m+n)

CA

•

CB

  ③，而①×3+②×4可得，72=72(m+n)+

CA

•

CB

   ④，所以由③得，m+n=

18

CA • CB

帶入④即可求出

CA

•

CB

．

解答： 解：如圖，取AC中點D，連接OD，則OD⊥AC；

∴

CO

•

CA

=|

CD

|•|

CA

|=2

3

×4

3

=24；
同理，

CO

•

CB

=3×6=18；

CO • CA =m CA 2+n CA • CB CO • CB =m CA • CB +n CB 2

；
∴

24=48m+n CA • CB ① 18=36n+m CA • CB ②

；
①+②得，42=12（4m+3n）+（m+n）

CA

•

CB

；
∴42=24+(m+n)

CA

•

CB

；
∴(m+n)

CA

•

CB

=18   ③；
①×3+②×4得，72（m+n）+

CA

•

CB

=72    ④；
∴③④聯立可解得

CA

•

CB

=36．
故答案為：36．

點評：考查數量積的計算公式，直角三角形中邊角的關系，以及通過構造方程組求未知數

CA

•

CB

的方法．