Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1.

（1）求二面角C—DE—C₁的正切值；

（2）求直線EC₁與FD₁所成角的余弦值.

Answer 1

解：（向量法）：（1）以A為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系，則有D（0，3，0），D₁（0，3，2）、E（3，0，0），F（4，1，0），C₁（4，3，2），于是=（3，-3，0），=（1，3，2），=（-4，2，2）.

設向量n(x,y,z)與平面C₁DE垂直，

則有x=y=.

∵n=(,,z)=(-1,-1,2),則n是一個與平面C₁DE垂直的向量.

∵向量AA₁=（0，0，2）與平面CDE垂直，

∴n與所成的角θ為二面角C—DE—C₁的平面角.

∵cosθ=，

∴tanθ=.

（2）設EC₁與FD₁所成的角為β，則

cosβ=.