Question

（2012•德陽二模）已知．f（x）=ax，g（x）=

a2x

a+a2x

，（a＞0，a≠1）
（1）求g（x）+g（1-x）的值；
（2）記a_n=g(

1

n+1

)+g(

2

n+1

)+…+g（

n

n+1

），（n∈N^*）．求a_n；
（3）設b_n=

an

3n

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）直接代入g（x）+g（1-x）整理即可求解
（2）由（1）可得g（

1

n+1

）+g（

n

n+1

）=1，然后利用倒序求和方法即可求解
（3）由（2）可得b_n=

an

3n

=

n

2•3n

，利用錯位相減求和方法即可求解

解答：解：（1）∵g（x）=

a2x

a+a2x

∴g（x）+g（1-x）=

a2x

a+a2x

+

a2-2x

a+a2(1-x)

=

a2x

a+a2x

+

a2

a1+2x+a2

=

a2x

a+a2x

+

a

a+a2x

=1
（2）由（1）可得g（

1

n+1

）+g（

n

n+1

）=1
∵a_n=g(

1

n+1

)+g(

2

n+1

)+…+g（

n

n+1

）
a_n=g（

n

n+1

）+g（

n-1

n+1

）+…g（

1

n+1

）
兩式相加可得，2a_n=1×n=n
∴an=

n

2

（3）∵b_n=

an

3n

=

n

2•3n

∴Sn=

1

2

[1•

1

3

+2•

1

32

+…+n•

1

3n

]
設A=1•

1

3

+2•

1

32

+…+n•

1

3n

則

1

3

A=1•

1

32

+2•

1

33

+…+(n-1)•

1

3n

+n•

1

3n+1

相減可得，

2

3

A=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1- 1 3n

2

-

n

3n+1

∴A=

3

4

-

1

2

(n+

3

2

)•

1

3n

∴Sn=

3

8

-

1

4

(n+

3

2

)•

1

3n

點評：本題以函數的運算為載體，主要考查了數列的倒序求和方法的應用及錯位相減求和的應用，此求和方法分別是推到等差數列與等比數列求和公式的重要方法