Question

（2012•德陽二模）已知數列{a_n}中，a₁≠0，前n項和為Sn，S_n=pⁿ+q，則{a_n}為等比數列是q=-1的（　　）

A．必要非充分條件

B．充分非必要條件

C．充要條件

D．非充分非必要條件

Answer 1

分析：由于{a_n}為等比數列，a₁≠0，則數列{a_n}的前n項和Sn=

a1(1-pn)

1-p

=

-a1

1-p

•pn+

a1

1-p

=pⁿ+q，則q=-1；由q=-1時，若令p=1，則a₁=S₁=0與a₁≠0矛盾；故得正確答案．

解答：解：由于{a_n}為等比數列，a₁≠0，不妨設{a_n}的公比是p，
則數列{a_n}的前n項和Sn=

a1(1-pn)

1-p

=

-a1

1-p

•pn+

a1

1-p

，
而S_n=pⁿ+q，所以-

a1

1-p

=1，

a1

1-p

=-1．即q=-1；
由于q=-1，若p=1時，則a₁=S₁=p¹+q=1¹-1=0與a₁≠0矛盾．
故{a_n}為等比數列是q=-1的充分不必要條件．
故答案選B．

點評：本題考查的知識點是：判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件；
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．
對四個答案逐一進行判斷，不難得到正確的結論．