Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：f（x+6）=-f（x），且y=f（x-3）是奇函數，給出以下命題，正確的是（　　）
（1）f（x）是周期函數     
（2）f（x）關于點（-3，0）對稱
（3）f（x）是偶函數       
（4）f（x）關于直線x=-3對稱．

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）（3）（4）
• C、（1）（2）（4）
• D、（1）（3）（4）

Answer 1

分析：（1）f（x+6）=-f（x）⇒f（x+12）=f（x），于是可判斷（1）之正誤；
（2）y=f（x-3）是奇函數⇒y=f（x-3）的圖象關于原點成中心對稱⇒f（x）的圖象關于點（-3，0）對稱，于是可判斷其正誤；
（3）y=f（x-3）是奇函數⇒f（-x-3）=-f（x-3），用x-3替換f（x+6）=-f（x）中的x，即可判斷（3）之正誤；
（4）f（x）關于點（-3，0）對稱，⇒f（-6）+f（0）=0，f（-6）=-f（0）≠f（0），于是可判斷（4）之正誤．

解答：解：對于（1）：∵f（x+6）=-f（x），
∴f[（x+6）+6]=-f（x+6）=-[-f（x）]=f（x），即f（x+12）=f（x），
∴f（x）是周期為12的函數，故（1）正確；
對于（2）：∵y=f（x-3）是奇函數，
∴y=f（x-3）的圖象關于原點成中心對稱，
而y=f（x-3）的圖象是y=f（x）的圖象向右平移3個單位得到的，故f（x）的圖象關于點（-3，0）對稱，故（2）正確；
對于（3）：∵f（x+6）=-f（x），
∴用x-3替換x得：f（x+3）=-f（x-3），又y=f（x-3）是奇函數，f（-x-3）=-f（x-3），
∴f（-x-3）=f（x+3），
∴f（x）是偶函數，即（3）正確；
對于（4）：∵f（x）關于點（-3，0）對稱，
∴f（-6）+f（0）=0，f（-6）=-f（0）≠f（0），
∴f（x）不關于直線x=-3對稱，即（4）錯誤；
綜上所述，（1）（2）（3）正確，
故選：A．

點評：本題考查抽象函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，考查轉化思想與邏輯思維能力，屬于中檔題．