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【題目】已知函數(其中為自然對數的底數)

(1)設過點的直線與曲線相切于點,求的值;

(2)若函數的圖象與函數的圖象在內有交點,求實數的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(1)點的切線的方程為,將代入切線方程可得結果;(2)兩已知函數有交點等價于函數有零點,利用導數研究其單調性,利用零點存在性定理可得結果.

試題解析:(1)因為函數,所以

故直線的斜率為

的切線的方程為

因直線過

所以

解之得,

(2)令,所以

,則

因函數的圖象與函數的圖象在內有交點,

內的一個零點,

所以上不可能單增,也不可能單減,

所以上均存在零點,

上至少有兩個零點,

時, 上遞增, 不可能有兩個及以上零點;

時, 上遞減, 不可能有兩個及以上零點;

時,令,得

上遞減,在上遞增,

所以

,則

,得

時, 遞增,

時, 遞減,

所以

恒成立,

有兩個零點,則有

,得

,設的兩個零點為,則遞增,在遞減,在遞增,

所以內有零點,

即函數的圖象與函數的圖象在內有交點,

綜上,實數的取值范圍是.

練習冊系列答案
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年份x

2011

2012

2013

2014

2015

儲蓄存款y(千億元)

5

6

7

8

10

為了研究計算的方便,工作人員將上表的數據進行了處理, 得到下表2:

時間代號t

1

2

3

4

5

z

0

1

2

3

5

(Ⅰ)求z關于t的線性回歸方程;

(Ⅱ)通過()中的方程,求出y關于x的回歸方程;

(Ⅲ)用所求回歸方程預測到2020年年底,該地儲蓄存款額可達多少?

(附:對于線性回歸方程其中

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(Ⅰ)討論的單調性;

(Ⅱ)當時,討論的零點個數.

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(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;

(3)從成績是~分及~分的學生中選兩人,記他們的成績為,求滿足“”的概率.

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1)求應從這三所高校中分別抽取的干事人數;

2)若從抽取的名干事中隨機選兩名干事,求選出的名干事來自同一所高校的概率.

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(Ⅰ)當時,求函數的最值;

(Ⅱ)若函數有極值點,求的取值范圍.

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