Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當時，討論的零點個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出，分三種情況討論，分別令 得增區間， 得減區間；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在上遞增， 上遞減， 上遞增，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理，可判定函數在， ， 上各有一個零點，即可得結果.

試題解析：(Ⅰ) .

①當時， ，當時， ，

當時， .當時， .∴在遞增

②當時，令，得，此時.

易知在遞增， 遞減， 遞增

③當時， .易知在遞增， 遞減， 遞增

(Ⅱ)當時，由(Ⅰ)知在上遞增， 上遞減， 上遞增，

且，將代入，

得

∵，∴.

下面證明 當時存在，使.

首先，由不等式，∴，∴，∴.

考慮到，

∴

.

再令，可解出一個根為，

∵，∴，∴，就取.

則有.由零點存在定理及函數在上的單調性，可知在上有唯一的一個零點.

由，及的單調性，可知在上有唯一零點.

下面證明在上，存在，使，就取，則，

∴，

由不等式，則，即.

根據零點存在定理及函數單調性知在上有一個零點.

綜上可知， 當時，共有3個零點.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、以及零點存在性定理，屬于難題．利用導數研究函數的單調性的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間.