Question

函數f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：
①對任意x∈R，有f（x）＞0； ②對任意x、y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；  ③f(

1

3

)＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）在R上是單調增函數；
（3）若f（2）=2，且x滿足f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)，求函數y=2f(2log2x)+

1

f(2log2x)

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=2，代入可得答案；
（2）設x1=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，作差后由函數的性質可判單調性；
（3）由（2）及已知條件化簡所給函數，由函數的單調性可得最值．

解答：解：（1）令x=0，y=2，得：f（0）=[f（0）]²，∵f（0）＞0，∴f（0）=1．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，設x1=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，則p₁＜p₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

p1）-f（

1

3

p2）=[f(

1

3

)]p1-[f(

1

3

)]p2
∵f(

1

3

)＞1，p₁＜p₂，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是單調增函數；
（3）由（2）及f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)知，

1

2

≤x≤2，
又f（2log₂x）=[f(2)]log2x=2log2x=x，
于是y=2x+

1

x

=2（x+

1 2

x

）在[

1

2

，

2

2

]上單調遞減，在[

2

2

，2]上單調遞增，
f（

1

2

）=3，f，2）=

9

2

，因此最大值為x=2時，y=

9

2

，最小值為x=

2

2

時，y=2

2

綜上所述，y=2f(2log2x)+

1

f(2log2x)

的最大值為

9

2

，，最小值為2

2

點評：本題為抽象函數的綜合應用，涉及函數的單調性和最值，屬中檔題．