Question

已知函數f（x）＝－x²＋ax－lnx（a∈R）．

   （1）求函數f（x）既有極大值又有極小值的充要條件；

   （2）當函數f（x）在[，2]上單調時，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）＝－2x＋a－＝（x>0），

∴f（x）既有極大值又有極小值⇔方程2x²－ax＋1＝0有兩個不等的正實數根x₁，x₂．

（3分）

∴，∴a>2，

∴函數f（x）既有極大值又有極小值的充要條件是a>2．（6分）

   （2）f′（x）＝－2x＋a－，令g（x）＝2x＋，

則g′（x）＝2－，g（x）在[，]上遞減，在（，2）上遞增．（8分）

又g（）＝3，g（2）＝，g（）＝2，

∴g（x）_max＝，g（x）_min＝2．（10分）

若f（x）在[，2]單調遞增，則f′（x）≥0即a≥g（x），∴a≥．

若f（x）在[，2]單調遞減，則f′（x）≤0，即a≤g（x），∴a≤2．

所以f（x）在[，2]上單調時，則a≤2或a≥．（13分）