Question

已知x=-2是函數f（x）=（ax+1）e^x的一個極值點．
（I）求實數a的值；
（Ⅱ）若x∈[-4，0]，求函數f（x）的單調區間及最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數的解析式，求出導函數的解析式，進而根據x=-2是函數f（x）=（ax+1）e^x的一個極值點．f′（-2）=0，可得實數a的值；
（Ⅱ）根據（I）中結論，求出函數f（x）的解析式及導函數的解析式，分析導函數的符號，進而得到函數的單調性，分析區間兩個端點的函數值，可得函數的最大值．

解答：解：（I）∵f（x）=（ax+1）e^x
∴f′（x）=（ax+a+1）e^x
∵x=-2是函數f（x）=（ax+1）e^x的一個極值點．
∴f′（-2）=（-2a+a+1）e^x=0
即-a+1=0
解得a=1
（II）由（I）得f（x）=（x+1）e^x，
f′（x）=（x+2）e^x
∵x∈[-4，-2）時，f′（x）＜0，此時函數f（x）為減函數；
x∈（-2，0]時，f′（x）＞0，此時函數f（x）為增函數；
又∵f（-4）=-3e^-4，f（0）=1＞f（-4），
故函數f（x）的單調遞減區間為[-4，-2），函數f（x）的單調遞增區間為（-2，0]，最大值為1

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導函數研究函數的單調性，其中根據函數在某點取得極值的條件，求出a值，進而得到函數和導函數的解析式是解答的關鍵．