Question

已知f（x）=（x+1）•|x-1|，若關(guān)于x的方程f（x）=x+m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？

Answer 1

分析：關(guān)于x的方程f（x）=x+m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)f（x）=（x+1）•|x-1|=

-x2+1，x≤1 x2-1，x＞1

和y=x+m的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)f（x）=（x+1）•|x-1|=

-x2+1，x≤1 x2-1，x＞1

和y=x+m的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答：解：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）=（x+1）•|x-1|=

-x2+1，x≤1 x2-1，x＞1

和y=x+m的圖象如圖所示；
根據(jù)f′（x）=

-2x ，x≤1 2x ，x＞1

，令f′（x）=0，解得x=-

1

2

，
此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，

3

4

），切線方程為y=x+

5

4

故當(dāng)-1＜x＜

5

4

時(shí)，函數(shù)f（x）和y=x+m的圖象有三個(gè)零點(diǎn)
此時(shí)關(guān)于x的方程f（x）=x+m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1，

5

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，利用數(shù)形結(jié)合思想解答函數(shù)的零點(diǎn)是求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置最常用的方法，一定要熟練掌握．