Question

15、設x_n={1，2…，n}（n∈N₊），對x_n的任意非空子集A，定義f（A）為A中的最小元素，當A取遍x_n的所有非空子集時，對應的f（A）的和為S_n，則：①S₃=

11

，②S_n=

2ⁿ⁺¹-n-2

．

Answer 1

分析：由題意得：在所有非空子集中每個元素出現2^n-1次．即有2^n-1個子集含1，有2^n-2個子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^k-1個子集不含1，2，3…k-1，而含k．
所以S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+n，進而利用錯位相減法求出其和．

解答：解：由題意得：在所有非空子集中每個元素出現2^n-1次．
故有2^n-1個子集含1，有2^n-2個子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^k-1個子集不含1，2，3…k-1，而含k．
所以S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+n
S_n=n•1+（n-1）•2+…+2•2^n-2+1•2^n-1…①
所以2S_n=n•2+（n-1）•4+…+2•2^n-1+1•2ⁿ…②
所以①-②可得-S_n=n-（2+4+…+2^n-1+2ⁿ）
所以S_n=2ⁿ⁺¹-n-2
所以S₃=11．
故答案為①S₃=11，②S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．

點評：解決此類問題的關鍵是讀懂并且弄清題意，結合數列求和的方法求其和即可．