Question

設x_n={1，2，…，n}（n∈N₊），對x_n的任意非空子集A，定義f（A）為A中的最小元素，當A取遍x_n的所有非空子集時，對應的f（A）的和為S_n．則①S₃=

11

，②S_n

2ⁿ⁺¹-2-n

．

Answer 1

分析：①把X_n的所有非空子集寫出來即可得出；
②設x_n={1，2，…，n}（n∈N₊），對x_n的任意非空子集A共有2ⁿ-1個，其中最小值為1的有2^n-1，最小值為2的有2^n-2個，…，最小值為n的只有2⁰=1個，即可得出S_n．

解答：解：①當n=3時，X₃={1，2，3}，其非空子集共有2³-1=7個，為{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．則S₃=1+2+3+1+1+1+2=11；
②設x_n={1，2，…，n}（n∈N₊），對x_n的任意非空子集A共有2ⁿ-1個，其中最小值為1的有2^n-1，最小值為2的有2^n-2個，…，最小值為n的只有2⁰=1個，
故S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+2⁰×n，
∴2Sn=2n+2×2n-1+…+2¹×n，
兩式相減得Sn=2n+2n-1+…+2¹-n=2ⁿ⁺¹-2-n．
故答案分別為11，2ⁿ⁺¹-2-n．

點評：正確得出“x_n的任意非空子集A共有2ⁿ-1個，其中最小值為1的有2^n-1，最小值為2的有2^n-2個，…，最小值為n的只有2⁰=1個”是解題的關鍵．