Question

某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學所需時間的范圍是[0，100]，樣本數據分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方圖中x的值；
（Ⅱ）如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿；
（Ⅲ）從學校的新生中任選4名學生，這4名學生中上學所需時間少于20分鐘的人數記為X，求X的分布列和數學期望．（以直方圖中新生上學所需時間少于20分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少于20分鐘的概率）

Answer 1

（Ⅰ）由直方圖可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.0125．
（Ⅱ）新生上學所需時間不少于1小時的頻率為：0.003×2×20=0.12，
因為600×0.12=72，
所以600名新生中有72名學生可以申請住宿．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，4．
由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于20分鐘的概率為

1

4

，
P(X=0)=(

3

4

)4=

81

256

，
P(X=1)=

C

14

(

1

4

)(

3

4

)3=

27

64

，
P(X=2)=

C

24

(

1

4

)2(

3

4

)2=

27

128

，
P(X=3)=

C

34

(

1

4

)3(

3

4

)=

3

64

，
P(X=4)=(

1

4

)4=

1

256

．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	81 256	27 64	27 128	3 64	1 256

…（12分）EX=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．（或EX=4×

1

4

=1）
所以X的數學期望為1．…（13分）