Question

設函數f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若f（x）＞a對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用零點分段法，我們可將函數f（x）=|x-1|+|x-2|化為分段函數的形式，根據分段函數分段處理的原則，我們分類討論解答f（x）＞3，最后綜合討論結果，即可得到不等式的解集．
（2）若f（x）＞a對x∈R恒成立，則a＜f（x）的最小值，根據（1）中分段函數的解析式，求出函數f（x）的最小值，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=|x=1|+|x-2|=

3-2x，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

∴當x＜1時，3-2x＞3，解得x＜0；
當1≤x≤2時，f（x）＞3無解
當x＞2時2x-3＞3，解得x＜3．
綜上，x＜0或x＞3，
∴不等式f（x）＞3的解集為（-∞，0）∪（3，+∞）（4分）
（2）∵f(x)=

3-2x，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

∴f（x）_min=1
∵f（x）＞a恒成立
∴a＜1，即實數a的取值范圍是（-∞，1）（7分）

點評：本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，函數恒成立問題，其中利用零點分段法，將函數的解析式化為分段函數的形式，再根據分段函數分段處理的原則，進行解答是本題的關鍵．