Question

設f（x）=lg

1+2x+4xa

3

  (a∈R)，若當x∈（-∞，1]時f（x）有意義，則a的取值范圍是______．

Answer 1

f（x）=lg

1+2x+4xa

3

  (a∈R)，若當x∈（-∞，1]時f（x）有意義轉化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．
分離參數可得：a＞-[(

1

2

)2x+(

1

2

)x]
設t=(

1

2

)x，則t≥

1

2

設g（t）=t²+t，其對稱軸為t=-

1

2

∴g（t）=t²+t在[

1

2

，+∞）上為增函數，當t=

1

2

時，g（t）有最小值g（

1

2

）=

3

4

∴a的取值范圍是a＞-

3

4

故答案為（-

3

4

，+∞）．