Question

設f（x）=lg

1+2x+4xa

3

  (a∈R)，若當x∈（-∞，1]時f（x）有意義，則a的取值范圍是

（-

3

4

，+∞）

．

Answer 1

分析：f（x）有意義，則真數大于0，所以問題轉化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．分離參數，轉化為求函數的最值解決．注意到4^x=（2^x）²，換元法轉化為求二次函數在特定區間上的最值問題．

解答：解：f（x）=lg

1+2x+4xa

3

  (a∈R)，若當x∈（-∞，1]時f（x）有意義轉化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．
分離參數可得：a＞-[(

1

2

)2x+(

1

2

)x]
設t=(

1

2

)x，則t≥

1

2

設g（t）=t²+t，其對稱軸為t=-

1

2

∴g（t）=t²+t在[

1

2

，+∞）上為增函數，當t=

1

2

時，g（t）有最小值g（

1

2

）=

3

4

∴a的取值范圍是a＞-

3

4

故答案為（-

3

4

，+∞）．

點評：本題考查對數函數的定義域、不等式恒成立問題，考查換元法和轉化思想，屬于中檔題．