Question

【題目】定義函數，其中x為自變量，a為常數．

（1）若當x∈[0，2]時，函數fa（x）的最小值為﹣1，求a的值；

（2）設全集U＝R，集合A＝{x|f3（x）≥0}，B＝{x|fa（x）+fa（2﹣x）＝f2（2）}，且（UA）∩B≠中，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）

【解析】

（1）設t＝2x，換元后，變為二次函數，確定新元取值范圍為，按對稱軸與區間的關系求函數的最小值，從而可求得；

（2）先求出集合UA，化簡方程由題意fa（x）+fa（2﹣x）＝f2（2），題意說明（a+1）（）+2a﹣6＝0在（0，log23）內有解，換元設t，由指數函數及對勾函數性質得t∈[4，5），問題可以轉化為方程在t∈[4，5）上有解，只要求得，t∈[4，5）的值域即可，這又可由函數單調性得出．

（1）令t＝2x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，

設φ（t）＝t2﹣（a+1）t+a，t∈[1，4]，

1°當，即a≤1時，fmin（x）＝φ（1）＝0，與已知矛盾；

2°當，即，

解得a＝3或a＝﹣1，∵1＜a＜7，∴a＝3；

3°當，即a≥7，fmin（x）＝φ（4）＝16﹣4a﹣4+a＝1，

解得，但與a≥7矛盾，故舍去，

綜上所述，a的值為3．

（2）UA＝{x|4x﹣42x+3＜0}＝{x|0＜x＜log23}，

B＝{x|4x﹣（a+1）2x+a+42﹣x﹣（a+1）22﹣x+a＝6}．

由已知（UA）∩B≠即（a+1）（）+2a﹣6＝0在（0，log23）內有解，

令t，則t∈[4，5），方程（t2﹣8）﹣（a+1）t+2a﹣6在[4，5）上有解，

也等價于方程在t∈[4，5）上有解，

∵在t∈[4，5）上單調遞增，

∴h（t）∈[﹣1，2），

故所求a的取值范圍是[﹣1，2）．