Question

【題目】為美化環境，某市計劃在以、兩地為直徑的半圓弧上選擇一點建造垃圾處理廠（如圖所示）.已知、兩地的距離為，垃圾場對某地的影響度與其到該地的距離有關，對、兩地的總影響度對地的影響度和對地影響度的和.記點到地的距離為，垃圾處理廠對、兩地的總影響度為.統計調查表明：垃圾處理廠對地的影響度與其到地距離的平方成反比，比例系數為；對地的影響度與其到地的距離的平方成反比，比例系數為.當垃圾處理廠建在弧的中點時，對、兩地的總影響度為.

（1）將表示成的函數；

（2）判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對、兩地的總影響度最小？若存在，求出該點到地的距離；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）當點到點的距離為時，垃圾處理廠對兩地的總影響度最小.

【解析】

（1）根據題意建立含參數的函數解析式，將時代入，求得，即可求得函數解析式;

（2）利用導數，確定函數的單調性及最值，即可求得答案.

解：（1）由題意，，

則，

其中，當時，，故，

∴.

（2）存在.由（1）可得 ，

令得，

當時，，故函數在區間單調遞減，

當時，，故函數在區間單調遞增，

故時，函數有最小值.

即當點到點的距離為時，垃圾處理廠對兩地的總影響度最小.

（另解：此問也可用基本不等式求最值）