Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見解析;（II）.

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)分情況討論，從單調(diào)性得出是否有極值，且求出極值；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知有極小值 ，只有當(dāng)時(shí)才符合題意，所以，求出函數(shù) 在處的切線方程 ，證明 ，得出。

試題解析：（1）由題意得， ，∴，

①當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)無極值；

②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則；

∴在上遞減，在上遞增；

∴有極小值，無極大值；

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知， 在上遞減，在上遞增，且有極小值.

①當(dāng)時(shí)， ，∴，

此時(shí)，不存在實(shí)數(shù)， ，使得不等式恒成立；

②當(dāng)時(shí)， ，

在處的切線方程為，

令， ，

則， ，

令 ， ，

則，令，則；令，則；

∴ ，∴，

∴，

當(dāng)， 時(shí)，不等式恒成立，

∴符合題意. 由①，②得實(shí)數(shù)的取值范圍為.