Question

已知關于x的函數f（x）=

2

sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），f（x）是偶函數
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求使f（x）＞1成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（I）根據函數奇偶性的定義并結合三角函數的誘導公式，算出φ=

π

2

+kπ（k∈Z），再由-π＜φ＜0可得φ的值；
（II）不等式f（x）＞1可化為cos2x＜-

2

2

，再利用余弦函數的圖象加以計算，可得滿足條件的x的取值集合．

解答：解：（I）∵f（x）=

2

sin（2x+φ），且f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），即

2

sin（-2x+φ）=

2

sin（2x+φ）對任意x∈R恒成立，
化簡得sin（-2x+φ）=sin（2x+φ），
即（-2x+φ）+（2x+φ）=π+2kπ（k∈Z），解之得φ=

π

2

+kπ（k∈Z），
∵-π＜φ＜0，∴取k=-1，得φ=-

π

2

；
（II）由（I）得f（x）=

2

sin（2x-

π

2

）=-

2

cos2x，
若f（x）=-

2

cos2x＞1，則cos2x＜-

2

2

，可得

3π

4

+2kπ＜2x＜

5π

4

+2kπ（k∈Z），
解之得

3π

8

+kπ＜x＜

5π

8

+kπ（k∈Z），
∴使f（x）＞1成立的x的取值集合為{x|

3π

8

+kπ＜x＜

5π

8

+kπ，k∈Z}．

點評：本題給出三角函數式，在函數為偶函數的情況下求參數φ的值，并依此解關于x的不等式，著重考查了函數奇偶性的定義和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．