Question

如圖，在四棱椎P-ABCD中，底面ABCD是∠BAD=60°且邊長為2的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
（2）求二面角A-BC-P的大小；
（3）若E為BC的中點，能否在棱PC上找一點F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵PA=PD，AG=GD，∴PG⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，BG?平面ABCD
∴PG⊥BG
又四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，
∴AD⊥BG，PG∩AD=G
∴BG⊥平面PAD
（2）∵PG⊥平面ABCD，∴BC⊥PG
又∵BC⊥BG
∴BC⊥平面PBG
∴∠PBG為二面角A-BC-P的平面角，
在Rt△PGB中，PG=BG，∴∠PBG=45°
所以二面角A-BC-P大小為45°
（3）取PC的中點F，則點F即為所求的點
證明：∵E為BC的中點，∴EF∥PB，PB?平面PBG
∴EF∥平面PBG
在菱形ABCD中，DE∥BG，BG?平面PBG
∴DE∥平面PBG，DE∩EF=E
∴平面DEF∥平面PBG ①
∵PG⊥平面ABCD，PG?平面PBG
∴平面PBG⊥平面ABCD ②
由①②，平面DEF⊥平面ABCD
分析：（1）先由面面垂直的性質定理，得PG⊥平面ABCD，從而PG⊥BG，再由線面垂直的判定定理證明BG⊥平面PAD
（2）先找到所求二面角的平面角即∠PBG，再由二面角平面角定義證明，最后在三角形中計算此角的大小，即得二面角的大小
（3）若平面DEF⊥平面ABCD，結合DE∥平面PBG，可判斷平面DEF一定與平面PBG平行，從而由面面平行的性質定理可知點F應為PC的中點，然后證明此結論即可
點評：本題綜合考查了面面垂直的判定定理與性質定理，線面垂直的判定定理，求二面角的大小的方法，