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設定義在R上的函數f(x)=5x+sinx,則不等式f (x-1)+f (1-x2)<0的解集為
(-∞,0)∪(1,+∞)
(-∞,0)∪(1,+∞)
分析:根據函數奇偶性的定義,證出f(x)是定義在R上的奇函數.再由導數恒大于0,得到f(x)是定義在R上的增函數.由此將不等式f (x-1)+f (1-x2)<0等價轉化為x-1<x2-1,解之即可得到原不等式的解集.
解答:解:∵函數解析式為f(x)=5x+sinx,
∴f(-x)=-5x+sin(-x)=-(5x+sinx)=-f(x),
因此函數是定義在R上的奇函數
又∵函數f(x)導數f'(x)=5+cosx>0恒成立
∴函數f(x)是定義在R上的增函數
因此不等式f (x-1)+f (1-x2)<0,即f (x-1)<-f (1-x2)=f(x2-1)
可得x-1<x2-1,解之得x<0或x>1
∴原不等式的解集為(-∞,0)∪(1,+∞)
故答案為:(-∞,0)∪(1,+∞)
點評:本題給出函數f(x)=5x+sinx,要求我們利用單調性和奇偶性解關于x的不等式f (x-1)+f (1-x2)<0,著重考查了函數的基本性質、利用導數研究函數的單調性和一無二次不等式的解法等知識,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個不同實數解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)滿足f(x)•f(x+2)=3,若f(1)=2,則f(5)=
2
2
;f(2011)=
3
2
3
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•順義區二模)設定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2π的偶函數,f′(x)是f(x)的導函數.當x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當x∈(0,π)且x≠
π
2
時,(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點個數為
6
6

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科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)滿足f(x+π)=f(x-π),f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當x∈[-
π
2
,
π
2
]
時,0<f(x)<1;當x∈(-
π
2
,
π
2
)
且x≠0時,x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點個數是( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在R上的函數f(x)同時滿足以下條件:①f(x+1)=-f(x)對任意的x都成立;②當x∈[0,1]時,f(x)=ex-e•cos
πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對數的底數,m是常數).記f(x)在區間[2013,2016]上的零點個數為n,則( 。
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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