Question

已知函數f(x)在(-1，1)上有定義。f()，-1。當且僅當0＜x＜1時，f(x)＜0，且對任意x，y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f()，試證明；

　　(1)f(0)=0且f(x)為奇函數；

　　(2)若數列{x_n}滿足x₁=，x_n+1=，求f(x_n)；

　　(3)在(2)的條件下，求。

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)令x=y=0，由f(x)+f(y)=f()，得f(0)=0。 　　  又令y=-x，則f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0。 　　  ∴ f(-x)=-f(x)。  ∴ f(x)為奇函數。 　　 (2)∵ x1=＞0，=，易知xn+1＞0， 　　  即xn＞0，且xn≠1，xn+1=＜=1， 　　  ∴ f(xn+1)=f()=f(xn)+f(xn)=2f(xn)。 　　  ∴ {f(xn)}是以f(x1)=f()=-1為首項，2為公比的等比數列。 　　  ∴ f(xn)=-2n-1。 　　  (3)===2