Question

【題目】已知，，，：，：.給出以下四個(gè)命題：

①分別過(guò)點(diǎn)，，作的不同于軸的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分；

②若，相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡恒在定圓上；

③若，相離，且，則與，都外切的圓的圓心在定橢圓上；

④若，相交，且，則與，一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切的圓的圓心的軌跡為橢圓的一部分.

則以上命題正確的是__________.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由圓與圓的位置關(guān)系和橢圓、雙曲線(xiàn)的定義，逐一判斷可得答案.

對(duì)于①，如圖所示，

，

故點(diǎn)M恒在以E，F為焦點(diǎn)，AB為長(zhǎng)軸的橢圓上，①正確；

對(duì)于②，若與x軸相切于點(diǎn)A，與x軸相切于點(diǎn)B，由題意知相外切，且，相切于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作兩圓公切線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)Q，如圖所示，

則，故Q與O點(diǎn)重合，所以，故點(diǎn)H的軌跡恒在定圓上，②正確；

對(duì)于③設(shè)與，都相切的圓的圓心為T，半徑為r，則T滿(mǎn)足，，得到，故圓心T的軌跡是雙曲線(xiàn)的一部分，③不正確，

對(duì)于④設(shè)與，一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切的圓的圓心為P，半徑為r，則點(diǎn)P滿(mǎn)足，，所以，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分. ④正確.

故答案為：①②④