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已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），且
a
與
b
之間滿足關系：|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，其中k＞0．
（1）用k表示
a
•
b
．
（2）求
a
•
b
的最小值，并求此時
a
與
b
夾角θ的大小．
分析：（1）由
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），可得|
a
|=|
b
|=1，結合|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，利用平方法，可得k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3（
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2），整理后可用k表示
a
•
b
．
（2）由（1）中函數的解析式，利用基本不等式，可分析出
a
•
b
的最小值，代入向量夾角公式，可得此時
a
與
b
夾角θ的大小．
解答：解：∵|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|兩邊平方，
得：|k
a
+
b
|2=3|
a
-k
b
|2
∴k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3（
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2）
即
a
•
b
=
(3-k2)
a
2 +(3k2-1)
b
2 
8k
．
∵
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），
∴
a
2=1，
b
2=1，
∴
a
•
b
=
k2+1
4k
．…（6分）
（2）∵k＞0，
∴（k-1）2≥0，從而k2+1≥2k，
即
k2+1
4k
≥
2k
4k
≥
1
2
，
∴
a
•
b
的最小值為
1
2
，
此時cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
，
∴θ=60°，
即
a
與
b
夾角為60°．…（12分）
點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合題，熟練掌握向量模計算的計算方式及平面向量夾角公式，是解答的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
2
sinθ)（θ∈R），點N（x，y）滿足
ON
=a⊙b（其中O為坐標原點），則|
ON
|2的最大值為（　　）
A、
2
B、2+
2
C、2-
2
D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
與k
a
-
b
大小相等，求β-α（k≠0）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），則（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=
7π
6
，求
a
•
b
的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，α=
π
8
，且α-β∈(-
π
2
，0)，求tan（α+β）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•朝陽區一模）已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）設|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．

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