【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點.
(Ⅰ)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅱ)點M在線段PC上,PM=tPC,試確定實數t的值,使PA∥平面MQB;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M-BQ-C的大小.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)60°.
【解析】試題分析:(Ⅰ)證明平面內的直線
,垂直平面
內兩條相交的直線
,即可證明平面
平面
;(Ⅱ)連
交
于
,由
,可得
∽
,再由
平面
推出
,即可求出
的值;(Ⅲ)以
為坐標原點,以
,
,
所在的直線為
,
,
軸,建立空間直角坐標系,分別求出求出平面
與平面
的一個法向量,利用向量的夾角公式即可求解.
試題解析:證明:(Ⅰ)連接BD.
因為AD=AB,∠BAD=60°,
所以△ABD為正三角形.
因為Q為AD的中點,
所以AD⊥BQ.
因為PA=PD,Q為AD中點,
所以AD⊥PQ.
又BQ∩PQ=Q,
所以AD⊥平面PQB.
因為,
所以平面PQB⊥平面PAD.
(Ⅱ)連接AC,交BQ于點N.
由AQ∥BC,可得△ANQ∽△CNB,
所以.
因為PA∥平面MQB, ,平面PAC∩平面MQB=MN,
所以PA∥MN.
所以,即
,所以
.
(Ⅲ)由PA=PD=AD=2,Q為AD的中點,則PQ⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,
所以PQ⊥平面ABCD.
以Q為坐標原點,分別以QA,QB,QP所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的坐標系,則A(1,0,0), ,Q(0,0,0),
.
,
.
設平面MQB的法向量為n=(x,y,z),
可得
因為PA∥MN,所以即
令z=1,則,y=0.
于是.
取平面ABCD的法向量m=(0,0,l),
所以.
故二面角M-BQ-C的大小為60°.
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【題目】已知命題 :若
,則
,下列說法正確的是( )
A. 命題 的否命題是“若
,則
”
B. 命題的逆否命題是“若
,則
”
C. 命題是真命題
D. 命題的逆命題是真命題
【答案】D
【解析】A. 命題 的否命題是若
B. 命題的逆否命題是“若
,則
C. 命題是假命題,比如當x=-3,就不滿足條件,故選項不正確.
D. 命題的逆命題是若
是真命題.
故答案為:D.
【題型】單選題
【結束】
9
【題目】“雙曲線的方程為 ”是“雙曲線的漸近線方程為
”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
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【題目】已知實數a、m滿足a= cosxdx,(x+a+m)7=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a7(x+1)7 , 且(a0+a2+a4+a6)2﹣(a1+a3+a5+a7)2=37 , 則m=( )
A.﹣1或3
B.1或﹣3
C.1
D.3
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為
,頂點A(a,0),B(0,b),中心O到直線AB的距離為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C上一動點P滿足: ,其中M,N是橢圓C上的點,直線OM與ON的斜率之積為﹣
,若Q(λ,μ)為一動點,E1(﹣
,0),E2(
,0)為兩定點,求|QE1|+|QE2|的值.
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【題目】已知橢圓上的點到它的兩個焦的距離之和為
,以橢圓
的短軸為直徑的圓
經過這兩個焦點,點
,
分別是橢圓
的左、右頂點.
()求圓
和橢圓
的方程.
()已知
,
分別是橢圓
和圓
上的動點(
,
位于
軸兩側),且直線
與
軸平行,直線
,
分別與
軸交于點
,
.求證:
為定值.
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【題目】設實數x,y滿足不等式組 ,(2,1)是目標函數z=﹣ax+y取最大值的唯一最優解,則實數a的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(0,1]
C.(﹣∞,﹣2)
D.(﹣∞,﹣2]
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